Curiosidades de los Números Primos

Un amigo, que llamaremos provisionalmente de Tomas, propone la siguiente conjetura.

Todo y cualquier Número Par, puede expresarse por la diferencia de dos Números Primos.

La conjetura de Tomas, tiene bastante parecido con la conjectura de Goldbach

Esta dice que todo y cualquier número par mayor que 2, puede ser representado, por la suma de dos Números Primos.

Esta última (la de Goldbach), parece que no se ha demostrado, aunque se ha comprobado con computador) que se cumple hasta con pares de Primos de valor inmenso.

Sobre la conjetura de Tomas pienso lo siguiente.

Veamos:

El conjunto de los números Naturales podemos gráficamente representarlo por segmentos, cuyo origen es cero (0) y su fin el número (n) que elegir.

Vamos llamar “segmento unidad” al espacio (dimensión recta lineal) entre el (0) y el (1)

Una propiedad, creo que la más fundamental de los números Naturales, es que siempre la distancia entre dos números Naturales consecutivos, es constante e igual al segmento unidad, o sea (1).

Por tanto, cualquier número natural, sea par o impar también podemos representarlo por la diferencia de dos segmentos. Por ejemplo: 36= segmento desde (0) a 41, menos segmento desde (0) a (5).

36= 37-1…39-3…41-5…….51-15……. Hasta infinitos pares. También con los pares:

36=38-2… 40-4…42-6…….242-206….Hasta infinitos pares.

Observe que, el conjunto de los números Impares (o el conjunto de los Pares) son subconjuntos del conjunto de los Naturales, con la particularidad de que el intervalo que separa cada número del anterior, ahora es un segmento de longitud (2) unidades.

Mas ambos subconjuntos continúan con la misma propiedad del de los Naturales.

Podemos afirmar por tanto que, cualquier número Par es la diferencia entre dos números impares, o entre dos números Pares

Continuando con este raciocinio. El conjunto de los números Primos es un subconjunto del de los números Impares. Se obtiene al substrair de este, el conjunto de los que son multiplos de ellos mismos y entre ellos

Primos hasta 1000

• 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29.

• 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71.

• 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113.

• 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173.

• 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229.

• 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281.

• 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349.

• 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409.

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Pero esto no elimina su propiedad fundamental (DE QUE CUALQUIER NÚMERO NATURAL PUEDE EXPRESARSE POR LA DIFERENCIA ENTRE DOS NÚMEROS NATURALES),

Entonces los Primos, (por ser Naturales) heredan de su conjunto “madre” (el conjunto de los números Impares), esta propiedad, que por su vez fue adquirida del conjunto “abuela” (Naturales).

Por tanto, creo poder afirmar que cualquier número par siempre es la diferencia entre dos números Primos.

Si esto es correcto, el mismo raciocinio se puede emplear para demostrar la conjetura de conjectura de Goldbach

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Para completar la explicación anterior, voy a añadir la que anteriormente habia imaginado sobre esta conjetura.

Sobre la conjetura de Tomas pienso lo siguiente.

Todos y cualquier número Impar, a comenzar por el (1) es la suma del anterior impar más (2)1,3,5,7,9,11,13,15,17,19…….. infinito.

Lo mismo sucede con los pares comenzando por el (2)2,4,6,8,10,12……..infinito

Cualquier par puede representarse por infinitas parejas de, diferencia entre dos impares, ejemplos:4= (5-1), (7-3), …(9-5)…..(19-15),….(297-294)

Como por definición, todos los Números Primos tienen que ser impares. Esto implica que la diferencia entre cualquier par de Primos es un número par.

Solo que esta propuesta en PRINCIPO no garantiza que todos los números Pares sean diferencia entre dos Primos.

Por definición, cualquier Primo no puede ser múltiplo, de cualquier primo anterior a él. Por lo que no todos los Impares son Primos.

POR OTRO LADO, CUALQUIER PRIMO ES LA SUMA DE SU ANTERIOR PRIMO, MAS EL MENOR MULTIPLO DE (2) POSIBLE, QUE CUMPLA ESTA CONDICIÓN.

Pues si al anterior primo le sumamos un múltiplo de (2) mayor que el mínimo, pasaríamos por encima de él (él realmente siguiente)

Observando la tabla de los primeros números primos vemos que:

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29.31 37 41 43 47 53 59 61 67 71.73 79 83 89 97 101 103 107 109 113.127 131 137 139 149 151 157 163 167 173.179 181 191 193 197 199 211 223 227 229.233 239 241 251 257 263 269 271 277 281.283 293 307 311 313 317 331 337 347 349.353 359 367 373 379 383 389 397 401 409.

En el inicio de la serie de la tabla, la diferencia entre Primos consecutivos es (2).A medida que avanzamos pasa (parece que caprichosamente) para (4), después para (6)…. (8)… (10) …. (12)…..esta diferencia va aumentando, pero siempre siguiendo una sucesión continua de intervalo (2). O sea, se forma el conjunto de los números pares.

Como consecuencia cualquier número par es la diferencia entre dos números Primos

Si esto es correcto, el mismo raciocinio se puede emplear para demostrar la conjetura de conjectura de Goldbach.

Nuevas curiosidades de los Números Primos

Hola Niceto Valcarcel

Lo que yo propongo es:

El conjunto de los números Impares se obtiene (a partir de 1) sumando al anterior Natural impar (2)

Si del conjunto de los números impares substraemos los múltiplos de sí mismos y entre ellos, el conjunto que resta es el de los Primos.

Cada número Primo por ser impar, forzosamente tiene que ser igual a (1) más algún múltiplo de (2).

Esto implica que cada número Primo es igual al anterior primo más un número par. Pero no cualquier par.

Llamemos P(n) a cualquier número Primo, y P(n+1) a su siguiente.

Entonces P(n+1)= P(n) + (mínimo par posible)

¿¿¿Por qué mínimo par posible???

Porque si no es el mínimo par posible, al sumarlo con P(n) pasaríamos por encima de P(n+1) sin descubrirlo.

Esta serie de mínimos (sumandos) Pares, si empezamos con el primer Primo (2), constituye la serie de Números Pares

Entonces como la serie de números Primos empieza con (2) y es continua, esto implica que cualquier número Par es la diferencia entre dos Primos.

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Nuestro amigo Niceto Valcárcel propone la siguiente pregunta:

CÓMO PUEDES DEMOSTRAR QUE UN PAR 2N NO PUEDE OBTENERSE COMO DIFERENCIA ENTRE UN PRIMO Y UN COMPUESTO, PARA TODOS LOS PRIMOS-

Para empezar, debo aclarar que no soy matemático, ni mucho menos especialista em Números Primos. Mi formación técnica es muy superficial. No obstante, soy curioso por temas de ciencia, (especialmente por los no resueltos). Por tanto, mis ideas al respecto, son muy intuitivas. No pasan de especulaciones. Ojalá por lo menos algunas estén en el buen camino.

El motivo de escribir estos temas, es únicamente para que sean analizados, discutidos sim perjuicios, rechazados con argumentos coherentes, o aceptados, y principalmente mejorados.

Volviendo a la pregunta de Niceto. Mi raciocinio (máximo, no llego a más) es el siguiente:

El conjunto de Números Primos, por la definición de Número Primo, implica que, considerándolo como una serie, empieza por el (2)..3..5..711..13…17…23….29… .Pn…….infinito.

Si colocamos ellos en una recta veríamos que su densidad, progresivamente va disminuyendo a medida que avanzamos en sentido del infinito. Es máxima en el inicio hasta el 7 su intervalo es 2, después va aumentando el intervalo para: 4…6….

¿Porque esta densidad va disminuyendo?

Porque por definición cualquier primo (Pn), además de ser impar, no puede ser múltiplo de cualquier combinación de sus anteriores Primos. Fatalmente estas posibles combinaciones van aumentando conforme avanzamos. Esto hace que la distancia entre dos Primos consecutivos llegará a ser enorme cuando estemos cerca del infinito. (densidad tendiendo a cero).

Este mismo detalle, y como consecuencia, hace que la densidad de los Números COMPUESTOS IMPARES, (conjunto de los múltiplos de los primos). Llamemos a este conjunto (Cn), sea mayor cuanto mas nos acercamos al infinito, tendiendo a un intervalo mínimo de (2).

En este caso limite, se cumpliría que a partir un cierto valor de (Cn), la diferencia entre (Pn) y (Cn) seria siempre 2n, y tendiendo a (2). A partir de este límite, todo y cualquier par seria la diferencia entre (Pn) y (Cn) seria 2. Pero ojo, eso solo puede suceder a partir de un cierto valor muy grande de (Cn).

¿Por qué? Por que en el inicio de la serie (Cn) las combinaciones posibles (multiplicando sus términos) no cubren todos los pares, teniendo como diferencia entre ellos 6

Veamos, el conjunto (Cn) solo puede empezar por el (9). Los siguientes son (15), (21),(25), (27)……Su densidad es la mínima y suficiente para dejar pares sin cubrir.

Como los siguientes Primos, (para poder tener diferencia) son:

(11)…. 11-9=2

(13)…...13-9=4

(17)……17-9=8

Observa que pasamos por encima del par 6. El siguiente (Cn) al 9 sería el 15, para poder restar tenemos que partir del primo 17,

(17)….17-15=2

(19)….19-15=4

(23)….23-15=8. Continuamos a pasar por encima del par 6.

Ya me diréis lo que os parece esta explicación.

Gracias.